Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，g(n)=2(

n+1

-1)(n∈N*)．
（1）當n=1，2，3時，分別比較f（n）與g（n）的大�。ㄖ苯咏o出結論）；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先令n=1，2，3．分別求得f（n）和g（n），再通過計算比較它們的大小即可；
（2）通過前3項進行歸納猜想，用數學歸納法證明．檢驗n取第一個值時，等式成立，假設n=k時成立，證明當n=k+1時也成立，即可得到猜想成立．

解答：解：（1）當n=1時，f（1）=1，g(1)=2(

2

-1)，f（1）＞g（1），
當n=2時，f(2)=1+

1

2

，g(2)=2(

3

-1)，f（2）＞g（2），
當n=3時，f(3)=1+

1

2

+

1

3

，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N^*），即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)．
下面用數學歸納法證明：①當n=1時，上面已證．
②假設當n=k時，猜想成立，即1+

1

2

+

1

3

++

1

k

＞2(

k+1

-1)
則當n=k+1時，f(k+1)=1+

1

2

+

1

3

++

1

k

+

1

k+1

＞2(

k+1

-1)+

1

k+1

=2

k+1

+

1

k+1

-2；
而g(k+1)=2(

k+2

-1)=2

k+2

-2，下面轉化為證明：2

k+1

+

1

k+1

＞2

k+2

只要證：2(k+1)+1=2k+3＞2

(k+2)(k+1)

，需證：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），
即證：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式顯然成立．所以，當n=k+1時猜想也成立．
綜上可知：對n∈N^*，猜想都成立，
即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)成立．

點評：本題考查歸納推理，用數學歸納法證明等式，證明故當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．