Question

設函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f(

1

2

)的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調性，并加以證明；
（2）一個各項均為正數的數列{a_n}，它的前n項和是S_n，若a₁=3，且對任意的正整數n，均滿足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法求值，再利用單調性的定義證明函數的單調性；
（2）先得出和與通項的關系，再寫一式，兩式相減，即可求得數列的通項．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=0；令x=2，y=

1

2

，得f(

1

2

)=-1（3分）
y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增．下面證明：
任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，∵當x＞1時，f（x）＞0，∴f(

x2

x1

)＞0
在已知式中令x=x1，y=

x2

x1

，得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，即證．（6分）
（2）當n≥2時，∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1
∴f（S_n）+1=f（a_n）+f（a_n+1），即f（2S_n）=f（a_n（a_n+1））（8分）
∵y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴2S_n=a_n（a_n+1）∴2S_n+1=a_n+1（a_n+1+1）
兩式相減得：2an+1=

a

2 n+1

+an+1-

a

2 n

-an，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1（11分）
∴數列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數列
∴a_n=n+2．（12分）

點評：本題考查抽象函數的單調性，考查數列與函數的綜合，考查單調性的證明，考查數列通項的求解，正確理解題意是關鍵．