Question

(理)如圖,在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,棱AD=DC=3,DD₁=4,過點D作D₁C的垂線交CC₁于點E,交D₁C于點F.

(1)求證:A₁C⊥BE;

(2)求二面角E-BD-C的大小;

(3)求BE與平面A₁D₁C所成角的正弦值.

(文)如圖,在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,棱AD=DC=3,DD₁=4,E是A₁A的中點.

(1)求證:A₁C∥平面BED;

(2)求二面角E-BD-A的大小;

(3)求點E到平面A₁BCD₁的距離.

Answer 1

解法一：(1)證明:連結AC交BD于點O,由已知ABCD是正方形,則AC⊥BD.

∵A₁A⊥底面ABCD,由三垂線定理有A₁C⊥BD.

同理,A₁C⊥DE.

∵BD∩DE=D,

∴A₁C⊥平面EBD.

∵BE平面EBD,

∴A₁C⊥BE.                                                             

(2)連結EO,由EC⊥平面BCD,且AC⊥BD,知EO⊥BD.

∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角.

已知AD=DC=3,DD₁=4,

可求得D₁C=5,DF=,∴CF=.

則EF=,EC=,OC=.                                               

在Rt△ECO中,tan∠EOC=.

∴二面角E-BD-C的大小為arctan.                                        

(3)連結A₁B,由A₁D₁∥BC,知點B在平面A₁D₁C內,

由(1)知A₁C⊥DE,又∵A₁D₁⊥DE,

且A₁C∩A₁D₁=A₁,

∴DE⊥平面A₁D₁C且F為垂足.

連結BF,

∠EBF為BE與平面A₁D₁C所成的角.

∵EF=,BE=,                                                        

在Rt△FEB中,sin∠EBF=.

∴BE與平面A₁D₁C所成角的正弦值為.                                  

解法二：(1)證明:如圖建立空間直角坐標系A—xyz,則A₁(0,0,4),C(3,3,0),B(3,0,0),E(3,3,).

∴=(3,3,-4),=(0,3,),

=3×0+3×3-4×=0.

∴.∴A₁C⊥BE.                                                

(2)D(0,3,0),=(-3,3,0),平面BCD的法向量為=(0,0,),                    

設平面BED的法向量為m=(x′,y′,z′),

則

即

令y′=-3,則m=(-3,-3,4).                                           

cos〈,m〉=                               

∴二面角E-BD-C的大小為arccos.                                    

(3)D₁(0,3,4),則=(0,3,0),設平面A₁D₁C的法向量為n=(x,y,z),

則

即

解之,得

令z=3,則n=(4,0,3).                                                         

cos〈,n〉=.

∴BE與平面A₁D₁C所成角的正弦值為.                                  

(文)解法一：(1)證明:連結AC交BD于點O,則O是AC的中點.連結EO,有A₁C∥EO.

∵EO平面BED,A₁C平面BED,

∴A₁C∥平面BED.                                                        

(2)∵AC⊥BD于O,又∵E是A₁A的中點,

∴EB=ED.∴EO⊥BD.?

∴∠EOA是二面角E-BD-A的平面角.                                       

在Rt△EAO中,EA=AA₁=2,AO=AC=,

∴tan∠EOA=.

∴二面角E-BD-A的大小是arctan.                                     

(3)過點E作EF⊥A₁B于F,

∵A₁D₁⊥平面A₁B₁BA,EF平面A₁B₁BA,

∴A₁D₁⊥EF且A₁B∩A₁D₁=A₁.

∴EF⊥平面A₁BCD₁.                                                     

則EF的長是點E到平面A₁BCD₁的距離.                                    

∵,且A₁E=2,A₁B=5,AB=3,

∴EF=,

即點E到平面A₁BCD₁的距離是.                                         

解法二：(1)證明:如圖建立空間直角坐標系.取BD的中點O,連結EO,

A₁(0,0,4),C(3,3,0),E(0,0,2),O(,0).                                        

=(3,3,-4),=(,-2),

∵=2,∴A₁C∥EO.

∵EO平面BED,A₁C平面BED,

∴A₁C∥平面BED.                                                        

(2)由于AE⊥平面ABCD,則=(0,0,2)就是平面ABCD的法向量.               

B(3,0,0),D(0,3,0),BE=(-3,0,2),=(-3,3,0).

設平面EBD的法向量為n=(x,y,z).

由得

令z=3,則n=(2,2,3).                                                        

cos〈n,〉=.

∴二面角E-BD-A的大小為arccos.                                     

(3)D₁(0,3,4),則=(0,3,0),設平面A₁BCD₁的法向量為m=(x′,y′,z′).

即

解之,得

令z′=3,則m=(-4,0,-3).                                                     

又=(-3,-3,2),h=,

即點E到平面A₁BCD₁的距離為.