Question

在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的斜邊BC恰在x軸上，點B（-2，0），C（2，0）且AD為BC邊上的高．
（I）求AD中點G的軌跡方程；
（Ⅱ）若一直線與（I）中G的軌跡交于兩不同點M、N，且線段MN恰以點（-1，）為中點，求直線MN的方程；
（Ⅲ）若過點（1，0）的直線l與（I）中G的軌跡交于兩不同點P、Q試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使恒為定值λ？若存在，求出點E的坐標及實數λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設G（x，y），則由，代入可求中點G的軌跡方程
（Ⅱ由點（-1，）在橢圓內部，可得直線MN與橢圓必有公共點，由，兩式相減，結合方程的根與系數關系可求直線MN的斜率k，從而可求直線直線MN的方程
（Ⅲ）假定存在定點E（m，0），使恒為定值λ，由軌跡方程中的y≠0，故直線l不可能為x軸，可設直線l的方程為x=ky+1且設點P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），聯立x=ky+1代入（y≠0），由方程的根與系數關系可求，則，代入可求，若存在定點E（m，0）使為定值（λ與k值無關），則必有，從而 可求
解答：解：（I）設G（x，y），則A（x，2y）而B（-2，0），C（2，0）
∴，．
由
∴（y≠0），即為中點G的軌跡方程
（Ⅱ∵點（-1，）在橢圓內部，
∴直線MN與橢圓必有公共點
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由已知x₁≠x₂，則有
兩式相減，得=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
而
∴直線MN的斜率k=1
∴直線MN的方程為4x-4y+5=0
（Ⅲ）假定存在定點E（m，0），使恒為定值λ
由于軌跡方程中的y≠0，故直線l不可能為x軸
于是可設直線l的方程為x=ky+1且設點P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
將x=ky+1代入（y≠0）得
（k²+4）y²+2ky-3=0．
顯然△=4k²+12（k²+8）＞0
∴
∵，
則
=（1+k²）y₃y₄
=
若存在定點E（m，0）使為定值（λ與k值無關），則必有
∴
∴在x軸上存在定點E（），恒為定值
點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示的應用，利用點差法求解直線方程，直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合應用．