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請觀察以下三個式子:
①1×3=
1×2×9
6

②1×3+2×4=
2×3×11
6

③1×3+2×4+3×5=
3×4×13
6

歸納出一般的結論,并用數學歸納法證明之.
分析:觀察所給等式,注意等式的左邊與右邊的特征,得到猜想,然后利用數學歸納法的證明標準,驗證n=1時成立,假設n=k是成立,證明n=k+1時等式也成立即可.
解答:解:由于所給的等式的左邊,是兩兩自然數的積再求和的形式,右邊是一個分式,分母是6,分子是三個自然數的積,注意自然數與序號之間的關系,所以,猜想:1×3+2×4+3×5+…+n(n+2)=
n(n+1)(2n+7)
6
---------(4分)
證明:(1)當n=1時,左邊=3,右邊=3,等式成立.
(2)假設當n=k時,等式成立,即1×3+2×4+3×5+…+k(k+2)=
k(k+1)(2k+7)
6
------------(6分)
那么,當n=k+1時,1×3+2×4+3×5+…+k(k+2)+(k+1)(k+3)
=
k(k+1)(2k+7)
6
+(k+1)(k+3)
=
k+1
6
(2k2+7k+6k+18)=
k+1
6
(2k2+13k+18)=
(k+1)(k+2)(2k+9)
6

就是說,當 n=k+1時等式也成立.----------------------(13分)
綜上所述,對任何n∈N+都成立.----------------------(14分)
點評:本題考查數學歸納法的應用,歸納推理推出猜想是解題的關鍵,注意數學歸納法證明時,必須用上假設.屬于中檔題,
練習冊系列答案
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;

;

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①1×
②1×
③1×
歸納出一般的結論,并用數學歸納法證明之.

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