Question

請觀察以下三個式子：
①1×3=

1×2×9

6

；
②1×3+2×4=

2×3×11

6

；
③1×3+2×4+3×5=

3×4×13

6

，
歸納出一般的結論，并用數學歸納法證明之．

Answer 1

分析：觀察所給等式，注意等式的左邊與右邊的特征，得到猜想，然后利用數學歸納法的證明標準，驗證n=1時成立，假設n=k是成立，證明n=k+1時等式也成立即可．

解答：解：由于所給的等式的左邊，是兩兩自然數的積再求和的形式，右邊是一個分式，分母是6，分子是三個自然數的積，注意自然數與序號之間的關系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=

n(n+1)(2n+7)

6

---------（4分）
證明：（1）當n=1時，左邊=3，右邊=3，等式成立．
（2）假設當n=k時，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=

k(k+1)(2k+7)

6

------------（6分）
那么，當n=k+1時，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）
=

k(k+1)(2k+7)

6

+（k+1）（k+3）
=

k+1

6

（2k²+7k+6k+18）=

k+1

6

（2k²+13k+18）=

(k+1)(k+2)(2k+9)

6

，
就是說，當 n=k+1時等式也成立．----------------------（13分）
綜上所述，對任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）

點評：本題考查數學歸納法的應用，歸納推理推出猜想是解題的關鍵，注意數學歸納法證明時，必須用上假設．屬于中檔題，