Question

已知空間向量

a

=（a₁，a₂，a₃），

b

=（b₁，b₂，b₃），定義兩個空間向量

a

與

b

之間的距離為d（

a

，

b

）=

3

i=1

|b_i-a_i|．
（1）若

a

=（1，2，3），

b

=（4，1，1），

c

=（

11

2

，

1

2

，0），證明：d（

a

，

b

）+d（

b

，

c

）=d（

a

，

c

）
（2）已知

c

=（c₁，c₂，c₃）
    ①證明：若?λ＞0，使

b

-

a

=λ（

c

-

b

），則d（

a

，

b

）+d（

a

，

c

）=d（

a

，

c

）．
    ②若d（

a

，

b

）+d（

b

，

c

）=d（

a

，

c

），是否一定?λ＞0，使

b

-

a

=λ（

c

-

b

）？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用新定義分別計算：d(

a

，

b

)，d(

b

，

c

)，d(

a

，

c

)，即可證明．
（2）①由于?λ＞0，使

b

-

a

=λ(

c

-

b

)，可得?λ＞0，使得b_i-a_i=λ（c_i-b_i），其中i=1，2，3，
因此b_i-a_i與c_i-b_i（i=1，2，3）同為非負數或同為負數．代入去掉絕對值符號即可證明．
②不一定?λ＞0，使得

b

-

a

=λ(

c

-

b

)．舉反例如下：取

a

=(1，1，1)，

b

=(1，2，1)，

c

=(2，2，2)，雖然滿足d（

a

，

b

）+d（

b

，

c

）=d（

a

，

c

），但是不存在λ＞0，使

b

-

a

=λ（

c

-

b

）成立．

解答：證明：（1）∵

a

=(1，2，3)，

b

=(4，1，1)，

c

=(

11

2

，

1

2

，0)，
∴d(

a

，

b

)=3+1+2=6，d(

b

，

c

)=

3

2

+

1

2

+1=3，d(

a

，

c

)=

9

2

+

3

2

+3=9，
∴d(

a

，

b

)+d(

b

，

c

)=d(

a

，

c

)．
（2）?①∵?λ＞0，使

b

-

a

=λ(

c

-

b

)，
∴?λ＞0，使得（b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃）=λ（c₁-b₁，c₂-b₂，c₃-b₃），
即?λ＞0，使得b_i-a_i=λ（c_i-b_i），其中i=1，2，3，
∴b_i-a_i與c_i-b_i（i=1，2，3）同為非負數或同為負數．                      
∴d(

a

，

b

)+d(

b

，

c

)=

3

i=1

|bi-ai|+

3

i=1

|ci-bi|=

3

i=1

(|bi-ai|+|ci-bi|)=

3

i=1

|ci-ai|=d(

a

，

c

)，
即d(

a

，

b

)+d(

b

，

c

)=d(

a

，

c

)．
?②不一定?λ＞0，使得

b

-

a

=λ(

c

-

b

)．                           
反例如下：取

a

=(1，1，1)，

b

=(1，2，1)，

c

=(2，2，2)，
d(

a

，

b

)=1，d(

b

，

c

)=2，d(

a

，

c

)=3，則d(

a

，

b

)+d(

b

，

c

)=d(

a

，

c

)
∵

b

-

a

=(0，1，0)，

c

-

b

=(1，0，1)，
∴不存在λ＞0，使得

b

-

a

=λ(

c

-

b

)．

點評：本題考查了新定義距離、向量的線性運算法則、絕對值的意義，屬于難題．