Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥面ABCD，PC•BD=0，PA=AB=2．∠BAD=60°．
（1）證明：面PAC⊥面PBD．
（2）求C到面PBD的距離．
（3）求面PBC與面PAD的二面角的大�。�

Answer 1

如圖（1）證明：連AC，BD∵PA⊥BD，PC⊥BD∴BD⊥面PAC，
∴面PAC⊥面PBD．（2分）

（2）解：O為AC的中點，故A、C到面PBD的距離相等．
連PO，過A做AE⊥PO于E，
∵面PAC⊥面PBD．
∴AE為A到面PBD的高．（4分）
在Rt△APO中，，AP=2，
∴．
故 C到面PBD的距離為．（7分）

（3）解：∵BC∥AD，
∴BC∥面PAD，
∴過P做PQ即為面PBC與面PAD的交線．
過B做BM⊥AD于M，BM⊥面PAD，過M做MQ⊥PQ于Q，連BQ，
則∠BQM為面PBC與面PAD的二面角的平面角．（9分）
在Rt△BQM中，BM=，MQ=2∴tan∠BQM=∴∠BQM=arctan．（12分）
分析：（1）由PA⊥BD，PC⊥BD?BD⊥面PAC?面PAC⊥面PBD．
（2）由O為AC的中點得A、C到面PBD的距離相等．把C到面PBD的距離轉化為A到面PBD的距離．過A做AE⊥PO于E?AE為A到面PBD的高．求出AE的長即可．
（3）先把面PBC與面PAD的交線PQ過點P作出來；然后利用三垂線定理極其逆定理把二面角的平面角作出來，再解三角形求出二面角的大小即可．
點評：本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點到面的距離計算．在求點到面的距離時，如果直接法不好求的話，一般轉化為棱錐的高利用等體積法來求．