Question

7．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），離心率$e=\frac{1}{2}$，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由焦點(diǎn)的坐標(biāo)分析可得焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，且c=1，由離心率公式分析可得a=2，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可得b²的值，將a、b的值代入橢圓的方程計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），則其焦點(diǎn)在y軸上，
可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)F（0，1），則c=1
又由其離心率$e=\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
則a=2，
b²=a²-c²=3，
故其標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，需要依據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．