Question

已知函數(shù)f（x）=2asinxcosx+2cos²x，且f（

π

3

）=2
（1）求a的值，并寫出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]內(nèi)的最值和取到最值時(shí)的x值．

Answer 1

分析：（1）先計(jì)算a的值，再利用二倍角、輔助角公式，化簡，即可得到結(jié)論；
（2）確定2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（

π

3

）=2，∴代入得a=

3

                           …（2分）
∴f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
∴T=

2π

2

=π．                                                  …（4分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，即x=

π

6

時(shí)，f（x）_max=3                       …（6分）
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時(shí)，即x=

π

2

時(shí)，f（x）_min=0                   …（8分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．