Question

如圖所示，在四面體中，，，兩兩互相垂直，且．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的大小；

（3）若直線與平面所成的角為，求線段的長度．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析   （2）二面角的大小為．   （3）．

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中面面垂直的證明，以及二面角的求解，和線面角的求解的綜合，同時考查了同同學們的空間想象的能力和邏輯推理能力和計算能力的運用。靈活運用定理和性質(zhì)來解決問題的運用。

（1）對于面面垂直的判定，一般通過線面垂直的判定定理得到。關鍵是判定CD垂直于平面ABC

（2）利用三垂線定理作出二面角，然后利用直角三角形來求解得到角的運算

（3）利用線面垂直，找到斜線BD與平面ACD的所成的線面角是解決該試題的關鍵

（1）∵ ，，∴ 平面．又平面，

∴ 平面平面．          …… …… …… 4分

（2）∵ ，，∴ 平面．∴ ．

∴ 是二面角的平面角．   …… …… 6分

在中，∵ ，∴ ．∴ 二面角的大小為．

（3）過點作，垂足為，連接．∵ 平面平面，   ∴ 平面，∴ 為與平面所成的角．∴ ．  

在中，，∴ ．又∵在中，，∴ ，∴ 在中，．