Question

已知定義在上的函數，最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為，函數圖象所有對稱中心都在圖象的對稱軸上.

（1）求的表達式；

（2）若，求的值；

（3）設，，，若恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】（1）由已知中已知定義在R上的函數f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤)，最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為π，我們易計算出A值，及最小正周期，進而求出ω值，再由函數圖象所有的對稱中心都在y=f（x）圖象的對稱軸上，求出φ值，即可得到f（x）的表達式；

（2）由，結合（1）中所求的函數解析式，可得，

進而求出的值，然后根據兩角差的余弦公式，即可求出答案．

（3）由 ,恒成立，可以轉化為函數恒成立問題，構造函數，求出其最值，即可得到答案．

解： (1)依題意可知：，

與f(x)相差，即相差，

所以或

（舍），

故.                  ……………………4分

（2）因為，即，

因為，又，y=cosx在單調遞增，

所以，所以，

于是

  ………9分

（3）因為，，

，

于是，得對于恒成立，

因為，故.         ………………14分