Question

（2012•廣東模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S是該三角形的面積．
（1）若

a

=(2sin

B

2

cosB，sinB-cosB)，

b

=(sinB+cosB，2sin

B

2

)，

a

∥

b

，求角B的度數；
（2）若a=8，B=

2π

3

，S=8

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標及兩向量平行，根據平面向量的數量積法則列出關系式，再利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后得出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由B的度數求出sinB的值，再由a，已知三角形的面積S，利用三角形的面積公式求出c的值，再由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）∵

a

=(2sin

B

2

cosB，sinB-cosB)，

b

=(sinB+cosB，2sin

B

2

)，

a

∥

b

，
∴4cosB•sin²

B

2

+cos2B=0，
∴4cosB•

1-cosB

2

+2cos²B-1=0，
∴cosB=

1

2

，
∵∠B∈（0，180°），
∴∠B=60°；…（6分）
（2）∵S=8

3

，
∴

1

2

acsinB=8

3

，…（7分）
又a=8，B=

2π

3

，
∴c=4，…（8分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=8²+4²-2•8•4cos120°=112，…（10分）
則b=4

7

．…（12分）

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，余弦定理，三角形的面積公式，二倍角的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．