Question

設z是虛數，，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）設，求證：u為純虛數．

Answer 1

解：設z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1）
∵-1＜ω＜2，∴，
又∵y≠0，∴x²+y²=1即|z|=1
∵，
∴
即z的實部的取值范圍是
（2）
∵x²+y²=1，∴
又∵y≠0，
∴u是純虛數．
分析：（1）設出復數z，寫出ω的表示式，進行復數的運算，把ω整理成最簡形式，根據所給的ω的范圍，得到ω的虛部為0，實部屬于這個范圍，得到z的實部的范圍．
（2）根據設出的z，整理u的代數形式，進行復數的除法的運算，整理成最簡形式，根據上一問做出的復數的模長是1，得到u是一個純虛數．
點評：本題考查復數的代數形式的運算，本題是一個運算量比較大的問題，題目的運算比較麻煩，解題時注意數字不要出錯．