Question

已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f(x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ)當a＝2時，求f(x)的極小值；

(Ⅱ)若函數g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x(b∈R)的極小值點與f(x)的極小值點相同，求證：g(x)的極大值小于等于10．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：當a＝2時，(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 　　列表如下： 　　所以，f(x)的極小值為f(2)＝　　6分 　　(Ⅱ)解：(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)． 　　由于a＞1， 　　所以f(x)的極小值點x＝a，則g(x)的極小值點也為x＝a． 　　而(x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)， 　　所以， 　　即b＝－2(a＋1)． 　　又因為1＜a≤2， 　　所以g(x)極大值＝g(1) 　　＝4＋3b－6(b＋2) 　　＝－3b－8 　　＝6a－2≤10． 　　故g(x)的極大值小于等于10．