Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”。已知當(dāng)x＞2時(shí)，點(diǎn)P（x，0）存在無窮多條“相關(guān)弦”。給定x₀＞2。
（1）證明：點(diǎn)P（x₀，0）的所有“相關(guān)弦”中的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；
（2）試問：點(diǎn)P（x₀，0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)AB為點(diǎn)的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是

則
兩式相減得
因?yàn)閤₁≠x₂
所以y₁+y₂≠0
設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是，則

從而AB的垂直平分線l的方程為
又點(diǎn)P（x₀，0）在直線上，
所以
而于是
故點(diǎn)P（x₀，0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x₀-2；
（2）由（1）知，弦AB所在直線的方程是，代入中
整理得  （·）
則是方程（·）的兩個(gè)實(shí)根，且
設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l，則





因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110917/201109170926567341226.gif">
于是設(shè)t=，則t∈（0，4x₀-8）
記
若，則
所以當(dāng)，即=2（x₀-3）時(shí)，l有最大值
若，則，在區(qū)間上是減函數(shù)
所以，l不存在最大值
綜上所述，當(dāng)x₀>3時(shí)，點(diǎn)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值為2（x₀-1）；當(dāng)2<x₀≤3時(shí)，點(diǎn)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值。