Question

已知α∈(0，

π

2

)，且cos2α=

4

5

．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）若β∈(

π

2

，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦公式，直接求出sinα，cosα，即可求得sinα+cosα的值．
（2）根據α∈(0，

π

2

)，求出sin2α，利用兩角和的正弦函數展開5sin（2α+β）=sinβ，化簡可得tanβ=-1，即可求出角β的大小．

解答：解：（1）由cos2α=

4

5

，得1-2sin2α=

4

5

，
所以sin2α=

1

10

，又α∈(0，

π

2

)，
所以sinα=

10

10

．
因為cos²α=1-sin²α，
所以cos2α=1-

1

10

=

9

10

，
又α∈(0，

π

2

)，
所以cosα=

3 10

10

，
所以sinα+cosα=

10

10

+

3 10

10

=

2 10

5

．
（2）因為α∈(0，

π

2

)，
所以2α∈（0，π），
由已知cos2α=

4

5

，
所以sin2α=

1-cos22α

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
由5sin（2α+β）=sinβ，得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=sinβ，
所以5(

3

5

cosβ+

4

5

sinβ)=sinβ，即3cosβ=-3sinβ，
所以tanβ=-1，
因為β∈(

π

2

，π)，
所以β=

3π

4

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，兩角和的正弦函數，二倍角公式的應用，根據角的范圍，確定三角函數的值，是本題的難點，需要仔細體會解題方法．