Question

【題目】觀察以下5個等式： ﹣1=﹣1
﹣1+3=2
﹣1+3﹣5=﹣3
﹣1+3﹣5+7=4
﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5
…
照以上式子規律：
（1）寫出第6個等式，并猜想第n個等式；（n∈N*）
（2）用數學歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知中：

﹣1=﹣1

﹣1+3=2

﹣1+3﹣5=﹣3

﹣1+3﹣5+7=4

﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5

…

歸納可得：

第6個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6

第n個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn

（2）解：下面用數學歸納法給予證明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n （2n﹣1）=（﹣1）nn

①當n=1時，由已知得原式成立；

②假設當n=k時，原式成立，

即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k （2k﹣1）=（﹣1）kk

那么，當n=k+1時，

﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k （2k﹣1）+（﹣1）k+1 （2k+1）

=（﹣1）kk+（﹣1）k+1 （2k+1）

=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）

=（﹣1）k+1 （k+1）

故n=k+1時，原式也成立，

由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立

【解析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左邊有n個連續奇數相加減，右邊為n（n為偶數）或n的相反數（n為奇數），進而得到結論；（2）當n=1時，由已知得原式成立，假設當n=k時，原式成立，推理可得n=k+1時，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．
【考點精析】掌握歸納推理是解答本題的根本，需要知道根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理．