Question

如圖所示，平面∥平面，點A∈，C∈，點B∈，D∈,點E，F分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.
（1）求證：EF∥;
（2）若E，F分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，
求EF的長.

Answer 1

（1）證明略（2）EF=或EF=

（1） ①當AB，CD在同一平面內時，


由∥，平面∩平面ABDC=AC，
平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，                   2分
∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，
又EF,BD,∴EF∥.                     4分
②當AB與CD異面時，
設平面ACD∩=DH，且DH=AC.
∵∥，∩平面ACDH=AC，
∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形，             6分
在AH上取一點G，使AG∶GH=CF∶FD，
又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.
∵EF平面EFG，∴EF∥.綜上，EF∥.         8分
（2）解 如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF.
∵E，F分別為AB，CD的中點，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME=BD=3，MF=AC=2，
∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補角），
∴∠EMF=60°或120°，                         12分
∴在△EFM中由余弦定理得，
EF=
==，
即EF=或EF=.                                16分