Question

已知定義在R上的函數f（x），g（x）滿足

f(x)

g(x)

=ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，則a的值是（　　）

• A．2
• B．

  1

  2

• C．3
• D．

  1

  3

Answer 1

分析：根據

f(x)

g(x)

=ax，結合題中等式建立關于a的方程：a+

1

a

=

5

2

，解之得a=2或

1

2

．再根據f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可證出y=a^x是R上的減函數，得a∈（0，1），由此可得a=

1

2

．

解答：解：∵

f(x)

g(x)

=a^x，∴

f(1)

g(1)

=a，

f(-1)

g(-1)

=a^-1=

1

a

因此

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

即a+

1

a

=

5

2

解之得a=2或

1

2

設F（x）=

f(x)

g(x)

，則F'（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

∵f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），
∴F'（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0在R上成立，故F（x）是R上的減函數
即y=a^x是R上的減函數，故a∈（0，1）
所以實數a的值為

1

2

故選：B

點評：本題給出含有指數形式的函數，求解關于字母a的方程，著重考查了指數函數的單調性和導數的運算法則等知識，屬于基礎題．