Question

已知定義在R上的函數f(x)＝x²(ax－3)，其中a為常數.(Ⅰ)若x＝1是函數f(x)的一個極值點，求a的值；(Ⅱ)若函數f(x)在區間（－1，0）上是增函數，求a的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) a＝2   (Ⅱ)  a≥－2.

解析:

(Ⅰ)f(x)＝ax³－3x，f??(x)＝3ax²－6x＝3x(ax－2),

∵x＝1是f(x)的一個極值點，∴f??(1)＝0，∴a＝2；

(Ⅱ)①當a＝0時，f(x)＝－3x²在區間（－1，0）上是增函數，∴a＝0符合題意；

②當a≠0時，f??(x)＝3ax(x－)，由f??(x)＝0，得x＝0，x＝

當a＞0時，對任意x∈(－1，0)，f??(x)＞0，∴a＞0符合題意；

當a＜0時，當x∈(，0)時，由f??(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合題意；

綜上所述，a≥－2.