Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數，
（1）求實數a的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設關于x的方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0有實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 是奇函數，

∴f（﹣x）= = =﹣f（x）=﹣ ，

∴a=1

（2）解：由（1）可知f（x）= =﹣1+

由上式易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數，

又∵f（x）是奇函數，

從而不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k），

∵f（x）是減函數，由上式推得t2﹣2t＞﹣2t2+k，

即對一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0，

從而判別式△=4+12k＜0，解得k＜﹣

（3）解：∵f（x）是奇函數，

∴f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0，

∴f（4x﹣b）=f（2x+1），

∴4x﹣b=2x+1，

∴b=4x﹣2x+1，

∵4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，

∴當b∈[﹣1，+∞）時方程有實數解

【解析】（1）根據奇函數的定義即可求出，（2）根據奇函數的定義將不等式化為：f（t2﹣2t）＜f（﹣2t2+k），再分離函數解析式，利用指數函數的復合函數的單調性判斷出此函數的單調性，再列出關于x的不等式，由題意轉化為：3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，利用二次函數的性質列出等價不等式求解．（3）先將原方程變為b=4x﹣2x+1 ， 再利用整體思想將2x看成整體，結合二次函數的性質即可求得實數b的取值范圍
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．