Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋向前跳一站(從k到k＋1)，若擲出反面，棋向前跳兩站(從k到k＋2)，直到棋子跳到第99站(勝利大本營(yíng))或跳到第100站(失敗集中營(yíng))時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為P_n．

(1)求P₀、P₁、P₂的值；

(2)求證：P_n－P_n－1＝－(P_n－1－P_n－2)，其中n∈N，2≤n≤99．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)棋子開始在第0站為必然事件，∴P0＝1． 　　第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，∴P1＝． 　　棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮： 　　①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為． 　　∴P2＝＋＝． 　　(2)證明：棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情況是下列兩種，而且也只有兩種： 　　①棋子先到第n－2站，又?jǐn)S出反面，其概率為Pn－2； 　　②棋子先到第n－1站，又?jǐn)S出正面，其概率為Pn－1， 　　∴Pn＝Pn－2＋Pn－1． 　　∴Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)． 　　思路分析：抓住問題的特征，硬幣出現(xiàn)正面或反面，棋子將會(huì)跳一步或兩步，即當(dāng)2≤n≤99時(shí)，每一站上棋子都有兩個(gè)來源．