Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面為等可能性事件，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+1），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束．設棋子跳到第n站概率為P_n．
（1）求P₀，P₁，P₂的值；
（2）求證：P_n-P_n-1=-

1

2

（P_n-1-P_n-2），其中n∈N，2≤n≤99；
（3）求P₉₉及P₁₀₀的值．

Answer 1

（1）棋子開始在第0站為必然事件，
∴P₀=1．
第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為

1

2

，
∴P₁=

1

2

．
棋子跳到第2站應從如下兩方面考慮：
①前兩次擲硬幣都出現正面，其概率為

1

4

；
②第一次擲硬幣出現反面，其概率為

1

2

．
∴P₂=

1

4

+

1

2

=

3

4

．
（2）證明：棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
①棋子先到第n-2站，又擲出反面，其概率為

1

2

P_n-2；
②棋子先到第n-1站，又擲出正面，其概率為

1

2

P_n-1．
∴P_n=

1

2

P_n-2+

1

2

P_n-1．
∴P_n-P_n-1=-

1

2

（P_n-1-P_n-2）．
（3）由（2）知，當1≤n≤99時，
數列{P_n-P_n-1}是首項為P₁-P₀=-

1

2

，公比為-

1

2

的等比數列．
∴P₁-1=-

1

2

，P₂-P₁=（-

1

2

）²，P₃-P₂=（-

1

2

）³，…，P_n-P_n-1=（-

1

2

）ⁿ．
以上各式相加，得P_n-1=（-

1

2

）+（-

1

2

）²+••+（-

1

2

）ⁿ，
∴P_n=1+（-

1

2

）+（-

1

2

）²++（-

1

2

）ⁿ=

2

3

[1-（-

1

2

）ⁿ⁺¹]（n=0，1，2，，99）．
∴P₉₉=

2

3

[1-（

1

2

）¹⁰⁰]，
P₁₀₀=

1

2

P₉₈=

1

2

•

2

3

[1-（-

1

2

）⁹⁹]=

1

3

[1+（

1

2

）⁹⁹]．