Question

設f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸．

(1)求a的值；

(2)求函數f(x)的極值．

 

Answer 1

(1) a＝－1 (2) f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3

【解析】(1)因為f(x)＝aln x＋＋x＋1，

故f′(x)＝－＋.

由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0，解得a＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，

f′(x)＝－－＋＝＝.

令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－

（因不在定義域內，舍去）.

當x∈(0,1)時，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數；

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數．

故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3.