Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做．則按所做的第一題評閱計分）
A．（選修4-4坐標系與參數方程） 已知圓C的圓心為（6，），半徑為5，直線被圓截得的弦長為8，則a=________．
B．（選修4-5 不等式選講）如果關于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則實數a的取值范圍是________；
C．（選修4-1 幾何證明選講），AB為圓O的直徑，弦AC．BD交于點P，若AB=3，CD=1，則sin∠APD=________．

Answer 1

    a＞-1    
分析：A 把方程化為直角坐標方程，由弦長公式求得圓心到直線的距離d，再由點到直線的距離公式求得tana，從而求得a．
B 由于|x-3|-|x-4|的最小值等于-1，不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則-1＜a．
C 由△PAB∽△PDC，可得 ，由PD⊥AD 可得，cos∠APD=，利用同角三角函數的基本關系求得sin∠APD的值．
解答：A 由題意得 圓C的圓心為（0，6），圓C的方程為 x²+（y-6）²=25，
直線 即 y=tana•x，tana•x-y=0．
設圓心到直線的距離等于d，由弦長公式得 8=2=2，∴d=3，
再由點到直線的距離公式得 d=3=，∴tana=±．
根據θ范圍知，tana＜0，∴tana=-，a=，故答案為 ．
B 由于|x-3|-|x-4|表示數軸上的x到3的距離減去它到4的距離，最小值等于-1，
如果關于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則-1＜a，即 a＞-1，故答案為-1．
C 如圖所示：由題意得∠APB=∠DPC，∠PDC=∠PAB，∠PCD=∠PBA，
∴△PAB∽△PDC，∴，．∵PD⊥AD（直徑對的圓周角等于90°），
∴cos∠APD=，∴sin∠APD=，故答案為 ．

點評：本題考查絕對值不等式的性質，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，體現了數形結合的數學思想．