Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F₁、F₂為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，根據題意可得k=±1，所以雙曲線C的方程為，C的一個焦點與A關于直線y=x對稱，可得雙曲線的焦點坐標進而求出雙曲線的標準方程．
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|，根據雙曲線的定義|TF₂|=2，再利用相關點代入法求出軌跡方程即可．
解答：解：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx-y=0
∵該直線與圓 相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x…（3分）
故設雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個焦點為
∴2a²=2，a²=1，∴雙曲線C的方程為x²-y²=1…（6分）
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|OF₁|
若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|…（8分）
根據雙曲線的定義|TF₂|=2，所以點T在以F₂為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是①…（10分）
由于點N是線段F₁T的中點，設N（x，y），T（x_T，y_T）
則…（12分）
代入①并整理得點N的軌跡方程為 …（14分）
點評：本題主要考查雙曲線的有關性質與定義，以及求軌跡方程的方法（如相關點代入法）．