Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點A，x軸上有一點Q（2a，0），若雙曲線上存在點P，使AP⊥PQ，則雙曲線的離心率的取值范圍是

1＜e＜

6

2

．

Answer 1

分析：點P（m，n），根據

AP

⊥

PQ

利用數量積為零算出（m-a）（2a-m）-n²=0，結合點P（m，n）在雙曲線上消去n，得關于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b²（

m2

a2

-1）=0，此方程的一個根為a，而另一個根為大于a的實數，由此建立關于a、b、c不等式關系，化簡整理即可得到離心率e的取值范圍．

解答：解：設點P（m，n），可得

AP

=（m-a，n），

PQ

=（2a-m，-n）
∵AP⊥PQ，
∴

AP

•

PQ

=（m-a）（2a-m）-n²=0…（1）
又∵P（m，n）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，得n²=b²（

m2

a2

-1）…（2）
將（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b²（

m2

a2

-1）=0
化簡整理，得-

c2

a2

m²+3am+c²-3a²=0
此方程的一根為m₁=a，另一根為m₂=

3a3-ac2

c2

．
∵點P是雙曲線上異于右頂點A的一點，
∴

3a3-ac2

c2

＞a，得3a²＞2c²，即e²＜

3

2

由此可得雙曲線的離心率e滿足1＜e＜

6

2

故答案為：1＜e＜

6

2

點評：本題給出雙曲線上存在一點P，到A（a，0）和Q（2a，0）所張的角等于90度，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質和直線與雙曲線關系等知識，屬于中檔題．