Question

已知f（x）為偶函數，且f（1+x）=f（3-x），當-2≤x≤0時，f（x）=3^x，若n∈N^*，a_n=f（n），則a₂₀₁₁=（　　）

• A、-

  1

  3

• B、3
• C、-3
• D、

  1

  3

Answer 1

分析：先利用f（x）為偶函數以及f（1+x）=f（3-x），求出函數的周期為4；把a₂₀₁₁轉化為a₅₀₂₊₃=a₃=f（3）=f（-1）；再借助于當-2≤x≤0時，f（x）=3^x，即可求出結論．

解答：解：∵f（1+x）=f（3-x）
∴f（x）=f（4-x）
又∵f（x）為偶函數，
∴f（x）=f（-x）
∴f（-x）=f（4-x）．即函數的周期T=4．
∴a₂₀₁₁=a₅₀₂₊₃=a₃=f（3）=f（-1）=3^-1=

1

3

故選：D．

點評：本題主要是對數列知識和函數知識的綜合考查．解決本題的關鍵是利用f（x）為偶函數以及f（1+x）=f（3-x），求出函數的周期為4．