Question

已知函數y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）若sinx=

3

5

，且x為第一象限角，求y的值；
（2）若tanx=

1

2

，求y的值．

Answer 1

分析：（1）由同角三角函數的基本關系結合sinx=

3

5

，算出cosx=

1-sin2x

=

4

5

，代入函數表達式即可求出求y的值；
（2）由“1=sin²x+cos²x”添分母，再將分式的分子和分母都除以cos²x，化成關于tanx的分式，代入題中數據即可求出求y的值．

解答：解：（1）x為第一象限角，且sinx=

3

5

，
∴cosx=

1-sin2x

=

4

5

，代入函數可得
y=（

3

5

）²+2×

3

5

×

4

5

+（

4

5

）²=

81

25

（2）y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=

sin 2x+2sinxcosx+3cos2x

sin2x+cos2x

=

tan2x+2tanx+3

tan2x+1

∵tanx=

1

2

，
∴y=

tan2x+2tanx+3

tan2x+1

=

1 4 +2× 1 2 +3

1 4 +1

=

17

5

．

點評：本題給出函數表達式，在已知x的正弦和正切的情況下求函數y的值．著重考查了同角三角函數的基本關系和任意角的三角函數等概念，屬于基礎題．