Question

【題目】國際上鉆石的重量計量單位為克拉；已知某種鉆石的價值（美元）與其重量（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元；

（1）寫出關于的函數關系式；

（2）若把一顆鉆石切割成重量比為的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；

（3）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為克拉和克拉，試用你所學的數學知識分析當，滿足何種關系時，價值損失的百分率最大.

（注：價值損失的百分率，在切割過程中重量損耗忽略不計）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題意設價值與重量的關系式為 ，再根據一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元，求得系數k即可.

（2）根據比例關系，設兩顆鉆石的重量為 克拉，計算原有價值是，現有價值是，再代入百分率公式求解.

（3）設兩顆鉆石的重量分別為克拉和克拉，根據損失百分率公式，先求得原有價值是和現有價值是，再代入公式得到百分率模型，然后用基本不等式求最值.

（1）由題意可設價值與重量的關系式為 ，

因為一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元，

所以 ，

所以 ，

所以關于的函數關系式.

（2）設兩顆鉆石的重量為 克拉，

則原有價值是，現有價值是，

所以價值損失的百分率為 ，

所以價值損失的百分率為.

（3）設兩顆鉆石的重量分別為克拉和克拉，

則原有價值是，現有價值是，

所以價值損失的百分率為：，

當且僅當 時，取等號.

即把一顆鉆石割成兩顆鉆石，當兩顆鉆石的重量相等時，價值損失的百分率最大.