Question

（2013•龍泉驛區模擬）已知在等比數列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足bn=2n-1+an(n∈N*)，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中項，a₁=1，知2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，由此能求出數列{a_n}的通項公式．．
（Ⅱ）由b_n=2n-1+a_n，知Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+（2n-1+2^n-1）=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1），由等差數列和等比數列的求和公式能求出S_n．

解答：解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中項，a₁=1，
∴2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，
∴q=

a3

a2

=2，
∴an=a1qn-1=2^n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n=2n-1+a_n，
∴Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+（2n-1+2^n-1）
=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=

n[1+(2n-1)]

2

+

1×(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ-1．

點評：本題考查等差數列的通項公式的求法和數列求和的應用，解題時要認真審題，仔細解答，熟練掌握等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式的靈活運用．