Question

數列滿足：，.（Ⅰ）若數列為常數列，求的值；

（Ⅱ）若，求證：；       （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：數列單調遞減.

Answer 1

（本小題滿分16分）

解：（Ⅰ）因為數列為常數列，

所以，

解得或

由的任意性知，或.

所以，

或.                                               ………………… 3 分

（Ⅱ）用數學歸納法證明.

當時，，

符合上式.                                    ………………… 4 分

       ② 假設當時，，

       因為 ，

       所以 ，即.

       從而，即.

       因為，

所以，當時，成立.

       由①，②知，.                            ………………… 9分

       （Ⅲ）因為

                      ()，

       所以只要證明.

       由（Ⅱ）可知，，

       所以只要證明，

       即只要證明. …………………12分

       令，

       ，

       所以函數在上單調遞增. ………………… 14分

       因為，

       所以，即成立.

       故.

所以數列單調遞減.                              ………………… 16分