Question

【題目】已知關(guān)于直線對稱，且圓心在軸上.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已經(jīng)動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.

①記四邊形的面積為，求的最小值；

②證明直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，結(jié)合圓心在軸上，即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）①根據(jù)切線性質(zhì)及切線長定理，表示出的長，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)最小時，即可求得面積的最小值；②設(shè)出M點坐標(biāo)，根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標(biāo)及半徑，進而求得的方程，根據(jù)兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標(biāo)。

（1）由題意知，

圓心在直線上，即，

又因為圓心在軸上，

所以，

由以上兩式得：，，

所以.

故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①如圖，的圓心為，半徑，

因為、是的兩條切線，

所以，，

故

又因為，

根據(jù)平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.

易知，當(dāng)點坐標(biāo)為時，

.

此時.

②設(shè)點的坐標(biāo)為，

因為，

所以、、、四點共圓.

其圓心為線段的中點，，

設(shè)所在的圓為，

所以的方程為：，

化簡得：，

因為是和的公共弦，

所以，兩式相減得，

故方程為：，

當(dāng)時，，

所以直線恒過定點.