Question

對于函數(shù)f（x）=-2cosx（x∈[0，π]）與函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx有下列命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=

π

2

對稱；②函數(shù)g（x）有且只有一個零點；
③函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線；
④若函數(shù)f（x）在點P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點Q處的切線，則直線PQ的斜率為

1

2-π

．其中正確的命題是

②③④

．（將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：對于①，根據(jù)函數(shù)f（x）在對稱軸處取得最值作出判斷即可；
對于②，函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，利用零點存在定理，可得函數(shù)g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個零點；
因為f'（x）=2sinx≤2，又因為g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線；
同時要使函數(shù)f（x）在點P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，這時可求得kPQ=

1

2-π

．
故可得結(jié)論

解答：解：對于①，根據(jù)函數(shù)f（x）在對稱軸處取得最值，可知①錯；
對于②，函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∵g(e-1)=

1

2e2

-1＜0，g(1)=

1

2

＞0，
∴函數(shù)g（x）在（e^-1，1）上有且只有一個零點，②正確；
因為f′（x）=2sinx≤2，又因為g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）圖象上存在平行的切線，③正確；
同時要使函數(shù)f（x）在點P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，這時P(

π

2

，0)，Q(1，

1

2

)，所以kPQ=

1

2-π

，④也正確．
所以正確的命題是②③④
故答案為：②③④

點評：本題以命題為載體，考查命題的真假，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查零點存在定理，知識綜合性強(qiáng)．