Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數f（x）的不動點，已知f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）當a=1，b=-2求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，令g(x)=

1

x+2

+loga 

1+x

1-x

，解關于x的不等式g[x(x-

1

2

)]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）將a=1，b=-2代入f（x）=ax2+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動點即可；
（2）由ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個不動點，即ax²+bx+b-1=0有兩個不等實根，可通過判別式大于0得到關于參數a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，轉化為16a²-16a＜0即可．
（3）先證明g（x）在定義域（-1，1）上遞減，再利用函數的單調性，將不等式轉化為具體不等式組，從而得解．

解答：解：（1）當a=1，b=-2時，
ax²+（b+1）x+（b-1）=x可化為x²-x-3=x
∴x²-2x-3=0
∴x=3或-1
∴所求的不動點為-1或3．
（2）對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異不動點，即ax²+bx+（b-1）=0有兩個不等實根
∴△₁＞0，即b²-4ab+4a＞0對任意b∈R恒成立
∴△₂=16a²-16a＜0
∴0＜a＜1
（3）g′(x)=-

1

(x+2)2

+

2

(1+x)(1-x)lna

∵

1+x

1-x

＞0，
∴-1＜x＜1
∴（1+x）（1-x）＞0
∵0＜a＜1
∴lna＜0
∴g′（x）＜0
∴g（x）在定義域（-1，1）上遞減，
∵g(0)=

1

2

∴g[x(x-

1

2

)]＜

1

2

可化為g[x(x-

1

2

)]＜g(0)
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

∴{x|

1- 17

4

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

}

點評：本題考點是函數恒成立問題，考查新定義，考查函數的單調性考查二次函數、方程的基本性質、不等式的有關知識，解題的關鍵是對新定義的理解．