Question

如圖，為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪，另外△AEF內部有一文物保護區域不能占用，經過測量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，應該如何設計才能使草坪面積最大？

Answer 1

分析：建立坐標系，確定線段EF的方程，表達出矩形PQCR的面積，再利用配方法求出面積的最大值，從而問題得解．

解答：解：建立如圖示的坐標系，則E（30，0）F（0，20），那么線段EF的方程就是

x

30

+

y

20

=1(0≤x≤30)

在線段EF上取點P（m，n），作PQ⊥BC于Q，作PR⊥CD于R，
設矩形PQCR的面積是S，則S=|PQ||•|PR|=（100-m）（80-n），
又因為

m

30

+

n

20

=1(0≤m≤30)，所以n=20（1-

m

30

），
故S=（100-m）（80-20+

2

3

m）=-

2

3

(m-5)2+

18050

3

∵0≤m≤30，∴當m=5時S有最大值，這時

|EP|

|PF|

=

30-5

5

=

5

1

故當矩形廣場的兩邊在BC、CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分EF成5：1時，廣場的面積最大．．

點評：本題考查函數模型的構建，考查配方法求函數的最值，考查利用數學知識解決實際問題，正確表達出矩形PQCR的面積是解題的關鍵．