Question

（本小題滿分13分）

已知的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若線段的延長(zhǎng)線交軌跡于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?sub>成等差數(shù)列，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以且

由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸為4的橢圓（去掉長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），

所以．故頂點(diǎn)的軌跡方程為．…………4分

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為．

由得，…………6分

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，

，所以線段CD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,故CD垂直平分線l的方程為，令y=0，得與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由得，解得，

又因?yàn)?sub>，所以．當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)遞減，所以．所以，．故直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是．……13分