Question

如圖，有一位于A處的雷達觀測站發現其北偏東45°，與A相距20

2

海里的B處有一貨船正以勻速直線行駛，20分鐘后又測得該船只位于觀測站A北偏東45°+θ（其中tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°）且與觀測站A相距5

13

海里的C處．
（1）求該船的行駛速度v（海里/小時）；
（2）在離觀測站A的正南方20海里的E處有一暗礁（不考慮暗礁的面積），如果貨船不改變航向繼續前行，該貨船是否有觸礁的危險？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°，求出cosθ的值，再利用余弦定理，即可求得結論；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=

3

10

，sinB=

1

10

，設BC延長線交AE于F，則∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B，在△AFC中，由正弦定理，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，AB=20

2

，AC=5

13

，∠BAC=θ
∵tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°，∴cosθ=

5

26

由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosθ=125，∴BC=5

5

∵航行時間為20分鐘
∴該船的行駛速度v=

5 5

1 3

=15

5

（海里/小時）；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=

800+125-325

2×20 2 ×5 5

=

3

10

，
∴sinB=

1

10

設BC延長線交AE于F，則∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B
在△AFC中，由正弦定理可得

5 13

sin(45°-B)

=

AF

sin(θ+B)

∴tanθ=

1

5

，0°＜θ＜45°，sinθ=

1

26

，cosθ=

5

26

∴AF=

5 13 sin(θ+B)

sin(45°-B)

=20（海里）
∴F與E重合，即貨船不改變航向繼續前行會有觸礁的危險．

點評：本題考查正弦、余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是確定三角形，屬于中檔題．