Question

如圖，有一位于A處的雷達(dá)觀測(cè)站發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與A相距海里的B處有一貨船正以勻速直線行駛，20分鐘后又測(cè)得該船只位于觀測(cè)站A北偏東45°+θ（其中，0°＜θ＜45°）且與觀測(cè)站A相距海里的C處．
（1）求該船的行駛速度v（海里/小時(shí)）；
（2）在離觀測(cè)站A的正南方20海里的E處有一暗礁（不考慮暗礁的面積），如果貨船不改變航向繼續(xù)前行，該貨船是否有觸礁的危險(xiǎn)？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，0°＜θ＜45°，求出cosθ的值，再利用余弦定理，即可求得結(jié)論；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=，sinB=，設(shè)BC延長(zhǎng)線交AE于F，則∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B，在△AFC中，由正弦定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意，AB=，AC=，∠BAC=θ
∵，0°＜θ＜45°，∴cosθ=
由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosθ=125，∴BC=5
∵航行時(shí)間為20分鐘
∴該船的行駛速度v==15（海里/小時(shí)）；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB==，
∴sinB=
設(shè)BC延長(zhǎng)線交AE于F，則∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B
在△AFC中，由正弦定理可得
∴，0°＜θ＜45°，sinθ=，cosθ=
∴AF=（海里）
∴F與E重合，即貨船不改變航向繼續(xù)前行會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定三角形，屬于中檔題．