Question

11．已知函數f（x）=2lnx-ax²．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線過點（2，0），求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，利用導數的幾何意義，確定切線的方程，代入點（2，0），即可求a的值；
（Ⅱ）分類討論，利用導數的正負求f（x）的單調區間．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2lnx-ax²，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-2ax，
∴f′（1）=2-2a，
∵f（1）=-a，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+a=（2-2a）（x-1），
代入（2，0），可得a=2-2a，∴a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f（x）=2lnx-ax²，f′（x）=$\frac{2（1-a{x}^{2}）}{x}$（x＞0），
①當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，故f（x）=2lnx-ax²的單調增區間[是（0，+∞）；
②當a＞0時，f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$；f′（x）＜0，可得x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
∴f（x）=2lnx-ax²的單調增區間[是（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；單調減區間是（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）．

點評 本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用，考查函數的單調性，屬于中檔題．