Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點．
（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
（3）如果AB=1，一個點從F出發在正方體的表面上依次經過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的點，又回到F，指出整個線路的最小值并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：對于（1）要證明EF∥平面CB₁D₁，只需證明EF平行于面CB₁D₁內的一條直線即可，
E、F為棱AD、AB的中點，易證EF∥BD，而BD∥B₁D₁，從而得證；
對于（2），要證平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．只需證明平面CB₁D₁內的一條直線與面CAA₁C₁垂直即可，
而容易證明B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥AA₁，從而可以證明B₁D₁⊥平面CAA₁C₁從而得證；
對于（3），正方體表面上兩點之間的最小距離問題，可以用側面展開圖解決，將正方體表面展開，
求EF兩點之間的距離即可．
解答：解：（1）證明：連接BD．
在長方體AC₁中，對角線BD∥B₁D₁．又∵E、F為棱AD、AB的中點，∴EF∥BD．∴EF∥B₁D₁．又B₁D_1⊥平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，∴EF∥平面CB₁D₁．
（2）∵在長方體AC₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．
又∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．
又∵B₁D₁平面CB₁D₁，∴平面CAA₁C₁⊥平面CB1D1．
（3）最小值為
∴如圖，將正方體六個面展開，從圖中F到F，兩點之間線段最短，
而且依次經過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中點，所求的最小值為
點評：本題考查線面平行的判定、面面垂直的判定，立體幾何表面距離最短問題，都用到轉化的思想：將線面平行轉化為線線平行，將面面垂直轉化為線面垂直，空間距離轉化為平面上兩點間距離問題來處理，要注意體會轉化思想的應用．