Question

某商場在店慶日進行抽獎促銷活動，當日在該店消費的顧客可參加抽獎．抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復以上操作，最多取4次，并規定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎規則如下：依次取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球為一等獎；不分順序取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“生”“意”“興”三個字的球為三等獎．
（Ⅰ）求分別獲得一、二、三等獎的概率；
（Ⅱ）設摸球次數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C，利用獨立事件同時發生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；
（Ⅱ）由于摸球次數為ξ，按題意則ξ=1，2，3，4，利用隨機變變量的定義及隨機變量的分布列及期望定義即可求得．

解答：解：（Ⅰ）設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C．
則P（A）=

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

256

，
P（B）=

A 3 3 -1

43

=

5

256

；
三等獎的情況有：“生，生，意，興”；“生，意，意，興”；“生，意，興，興”三種情況．
P（C）=(

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

A

2 4

)+(

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

A

2 4

)+(

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

A

2 4

)=

9

64

；
（Ⅱ）設摸球的次數為ξ，則ξ=1，2，3，4．
P(ξ=1)=

1

4

，P(ξ=2)=

3

4

×

1

4

=

3

16

，P(ξ=3)=

3

4

×

3

4

×

1

4

=

9

64

，P(ξ=4)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=

27

64

．
故取球次數ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 4	3 16	9 64	27 64

Eξ=

1

4

×1+

3

16

×2+

9

64

×3+

27

64

×4=2.75．

點評：此題考查了學生的理解及計算能力，考查了獨立事件同時發生及互斥事件一個發生的概率公式，還考查了離散型隨機變量的定義及分布列，隨機變量的期望．