Question

（本題12分）

如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,  AA=2,  E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。

（I）證明：直線EE//平面FCC；

（II）求二面角B-FC-C的余弦值。    

Answer 1

（本小題滿分12分）

解:（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,

所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因為ABCD為

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,

連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM為x軸,DC為y軸,DD₁為

z軸建立空間直角坐標系,…  …………… ………1分

,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C₁（0,2,2）,E（,,0）,E₁（,-1,1）, …………  …… ………2分

所以,,設平面CC₁F的法向量為則所以

取,  ……  ……………4分

則,所以,

所以直線EE//平面FCC.     …………  …………… ……  …………………6分  

（2）,設平面BFC₁的法向量為,則所以,取,……… ……  ……………………8分

則,

,,     

所以,… ……  …………………………10分

由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.    ……12分