Question

【題目】已知數列滿足，.

（1）若.

①設，求證：數列是等比數列；

②若數列的前項和滿足，求實數的最小值；

（2）若數列的奇數項與偶數項分別成等差數列，且，，求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）①見解析②的最小值為6.（2），.

【解析】

（1）①由已知可得，又，再利用等比數列的定義即可；②利用累計法可得是以6為首項，為公比的等比數列，再用公式法求得即可；

（2）設奇數項所成等差數列的公差為，偶數項所成等差數列的公差為，對n分n為奇數和偶數進行討論，結合，可得，進一步得到數列的通項公式.

（1）①因為，且，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列.

②由①知，，

所以

，

則，所以是以6為首項，為公比的等比數列，

所以.

當時，有最大值6，所以實數的最小值為6.

（2）設奇數項所成等差數列的公差為，偶數項所成等差數列的公差為

①當為奇數時， ，，

則，即，

所以，故.

②當為偶數時，，，

則，即，

所以，故.

綜上可得，.

又，所以.

所以當為奇數時，；

當為偶數時，.

故數列的通項公式為，.