Question

已知函數f（x）=

1+ln(x+1)

x

（1）求函數的定義域；
（2）確定函數f（x）在定義域上的單調性，并證明你的結論；
（3）當x＞0時，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求正整數k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據函數的解析式可得 x≠0，且 x+1＞0，由此求得函數的定義域．
（2）求出f′（x），分x＞0 以及0＞x＞-1兩種情況，都可得到函數f′（x）＜0，從而得到函數f（x）在（0，+∞）、（-1，0）上是減函數．
（3）當x＞0時，f（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1可得，k＜2（1+ln2），再由k 為正整數，故k的最大值不大于3．k=3 時，即證當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
利用導數求出h（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x 的最小值等于3-e＞0，從而得到正整數k的最大值．

解答：解：（1）根據函數f（x）=

1+ln(x+1)

x

，可得 x≠0，且 x+1＞0，由此求得函數的定義域為 {x|x＞-1，且 x≠0}．
（2）f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln（x+1）]=-

1

x2

[-

x

x+1

+ln（x+1）+1]．
當 x＞0 時，1＞

x

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，

1

x2

＞0，∴f′（x）=-

1

x2

[-

x

x+1

+ln（x+1）+1]＜0，故函數f（x）在（0，+∞）上是減函數．
當 0＞x＞-1 時，令g（x）=[

x

x+1

+ln（x+1）+1]，g′（x）=-

1

(x+1)2

+

1

x+1

=

x

(x+1)2

＜0，
故g（x）在（-1，0）上是減函數，故g（x）＞g（0）=1＞0，故 f′（x）=-

1

x2

[

x

x+1

+ln（x+1）+1]＜0，故函數f（x）在（-1，0）上是減函數．
 綜上可得，函數f（x）在（0，+∞）、（-1，0）上是減函數．
（3）當x＞0時，f（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1可得，k＜2（1+ln2），再由k 為正整數，故k的最大值不大于3．
下面證明k=3 時，f（x）＞

k

x+1

 （x＞0）恒成立，即證當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令h（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，則 h′（x）=ln（x+1）-1．
當 x＞e-1時，h′（x）＞0，當 0＜x＜e-1時，h′（x）＜0，故當 x=e-1時，h（x）取得最小值為 h（e-1）=3-e＞0．
故當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，故k的最大值為3．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，對數函數的圖象和性質的應用，屬于中檔題．