Question

已知橢圓過點，長軸長為，過點C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB中點的橫坐標是，求直線l的斜率；
（3）在x軸上是否存在點M，使是與k無關的常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵橢圓長軸長為2，∴2a=2，∴a=
又∵橢圓過點（-，1），代入橢圓方程得=1，∴b²=
∴橢圓方程為=1，
即x²+3y²=5…（3分）
（2）∵直線l過點C（-1，0）且斜率為k，
設直線方程為y=k（x+1）
由-5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵線段AB中點的橫坐標是-，
則x₁+x₂=2×（-）=-1，
即x₁+x₂=．…（7分）
（3）假設在x軸上存在點M（m，0），
使是與k無關的常數，
由-5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，…（9分）
∵）
∴
=
=
=
=是與k無關的常數，設常數為t，
則=t…（12分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0對任意的k恒成立∴，解得m=
即在x軸上存在點M（，0），
使是與k無關的常數．…（14分）
分析：（1）由橢圓長軸長為2，知a=，再由橢圓過點（-，1），求得b²=，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線方程為y=k（x+1）由-5=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由線段AB中點的橫坐標是-，能求出直線l的斜率．
（3）假設在x軸上存在點M（m，0），使是與k無關的常數，由-5=0，再由韋達定理和向量的數量積公式能推導出在x軸上存在點M（，0），使是與k無關的常數．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．