Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1與點(diǎn)P（1，2），過P點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若P為AB中點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）若Q（1，1），證明不存在以Q為中點(diǎn)的弦．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出過P（1，2）點(diǎn)的直線AB方程，然后代入雙曲線方程，利用設(shè)而不求韋達(dá)定理求出k的值，求出AB的方程即可．
（2）按照（1）的方法，求出k=2，此時(shí)，△＜0，所以這樣的直線不存在．

解答：解：（1）設(shè)過P（1，2）點(diǎn)的直線AB方程為y-2=k（x-1），
代入雙曲線方程得
（2-k²）x²+（2k²-4k）x-（k⁴-4k+6）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=-

2k2-4k

2-k2

，
由已知

x1+x2

2

=x_p=1，
∴

2k2-4k

k2-2

=2．解得k=1．
又k=1時(shí)，△=16＞0，從而直線AB方程為x-y+1=0．
（2）證明：按同樣方法求得k=2，
而當(dāng)k=2時(shí)，△＜0，
所以這樣的直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的運(yùn)用，以及直線的一般式，通過直線與雙曲線的方程的聯(lián)立，通過設(shè)而不求韋達(dá)定理解題，屬于中檔題．