Question

設函數，且，其中是自然對數的底數.

（1）求與的關系；

（2）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

（3）設，若在上至少存在一點，使得＞成立，

求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）

（2）只需在內滿足：恒成立

（3）

解析:

（1）由題意得                    …………1分

  而，

所以、的關系為                             ………… 2分

（2）由（1）知，

令，要使在其定義域內是單調函數，

只需在內滿足：恒成立.       ………… 4分

① 當時，，因為＞，所以＜0，＜0，

 ∴在內是單調遞減函數，即適合題意；         ………… 5分

② 當＞0時，

其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，

∴，只需，即，

∴在內為單調遞增函數，故適合題意.      …………  7分

③ 當＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，

故＜0適合題意.綜上所述，的取值范圍為       ………… 9分

（3）∵在上是減函數，

 ∴時，；時，，

即，                                       …………10  分

當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；

 ② 當0＜＜1時，由，

又由（2）知當時，在上是增函數，

  ∴

＜， 不合題意；              …………12 分、

③ 當時，由（2）知在上是增函數，

＜2，又在上是減函數，

故只需＞， ，

而，

， 即  ＞2，解得＞ ，…………13  分

綜上，的取值范圍是.                             ……14分