Question

設函數，且，其中是自然對數的底數.

   （1）求與的關系； （2）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；   （3）設，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）由題意得  

      而，所以、的關系為    

   （2）由（1）知，

    令，要使在其定義域內是單調函數，只需在內滿足：恒成立.     

①當時，，因為＞，所以＜0，＜0，

   ∴在內是單調遞減函數，即適合題意；

    ②當＞0時，，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，

    ∴，只需，即，

    ∴在內為單調遞增函數，  故適合題意.

    ③當＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要， 即時，在恒成立，故＜0適合題意. 

    綜上所述，的取值范圍為.      

   （3）∵在上是減函數，∴時，；時，，

即，

    ①當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；                                     

    ②當0＜＜1時，由，又由（2）知當時，在上是增函數，

     ∴＜，不合題意；                                           

    ③當時，由（2）知在上是增函數，＜2，又在上是減函數，

    故只需＞， ， 而，，

    即  ＞2，解得＞ ，綜上，的取值范圍是.