Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左右頂點，F（1，0）為其右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程及離心率；
（Ⅱ）過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P（不同于A，B），與橢圓在點B處的切線交于點D．當直線l繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可得a=2，c=1，由a²=b²+c²，求出b，進而求出橢圓C的標準方程及離心率；
（2）先設出直線l的方程，根據題意，表示出D、E的坐標，從而求出以BD為直徑的圓的圓心和半徑，再將l的方程與橢圓方程聯立，得到交點A、P的坐標關系，因為A點的坐標已知，從而求出點P的坐標，然后分直線PF斜率存在和不存在兩種情況討論直線PF與以BD為直徑的圓的位置關系即可．
解答：解：（Ⅰ）由題意可設橢圓C的方程為，半焦距為c，
因為A（-2，0）、B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F（1，0）為其右焦點，
所以a=2，c=1．又因為a²=b²+c²，所以．
故橢圓C的方程為，離心率為．（5分）
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：
由題意可設直線l的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k）．
由得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設點P的坐標為（x，y），則．
所以，．
因為點F坐標為（1，0），
當時，點P的坐標為，點D的坐標為（2，±2），
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y?1）²=1與直線PF相切．
當時，則直線PF的斜率．
所以直線PF的方程為．
點E到直線PF的距離=．
又因為|BD|=4|k|所以．
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當直線l繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．（14分）
點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用、直線與橢圓的位置關系及直線與圓的位置關系，解題時要認真審題，注意運用方程思想、分類討論、數形結合等數學思想，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧．